sexta-feira, 17 de setembro de 2010

Elipsoide

Em topografia utiliza-se o  elipsóide  como o  modelo matemático que  melhor representa  o nosso geóide, o qual é deformado e não pode ser utilizado como modelo. O encontro entre o elipsoide, o geóide e a superfície topográfica é chamado de datum.  Os datuns que utilizaremos no curso são: SAD 69, Córrego Alegre, WGS84,  e SIRGAS.
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Elipsoide 


Imagem tridimensional de um elipsóide
Em matemática, um elipsóide é um sólido que resulta da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos. A equação de um elipsóide num sistema de coordenadas cartesiano x-y-z é
{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1
onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma do elipsóide. Se dois dos números são iguais, o elipsóide é um esferóide; se os três forem iguais, trata-se de uma esfera.
Supondo a ≥ b ≥ c, então:
  • a ≠ b ≠ c : o elipsóide é escaleno
  • c = 0 : o elipsóide é plano (duas elipses em simetria)
  • b = c : esferóide em forma de charuto
  • a = b : esferóide em forma de comprimido
  • a = b = c : esfera

Índice


Volume

O volume de um elipsóide é dado por:
\frac{4}{3} \pi abc

Área da superfície

A área da superfície tem uma fórmula mais complexa, dada por:
2 \pi \left( c^2 + \frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}} F(\theta, m) + b\sqrt{a^2-c^2} E(\theta, m) \right)
em que
m = \frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}
\theta = \arcsin{\left( e \right)}
e = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}}
e F(θ,m) e E(θ,m) são os integrais elípticos incompletos do segundo e terceiro tipos.
Fórmulas aproximadas:
Elipsóide plano: = 2 \pi \left( ab \right)
Se b = c: \approx 2 \pi \left( c^2 + ac \frac{\arcsin{\left( e \right)}}{e} \right)
Se a = b: \approx 2 \pi \left( a^2 + c^2 \frac{\operatorname{arctanh}{\left( e \right)}}{e} \right)
Se o elipsóide é escaleno: \approx 4 \pi \left( \frac{ a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p }{3} \right)^{1/p}
onde p ≈ 1.6075 resulta num erro relativo máximo de cerca de 1.061% (fórmula de Knud Thomsen); um valor de p = 8/5 = 1.6 resulta bem para praticamente todos os elipsóides esferóides, com erro relativo máximo de 1.178% (fórmula de David W. Cantrell).

Transformações lineares

Ao aplicar uma transformação linear invertível a uma esfera, obtém-se um elipsóide
A intersecção de um elipsóide com um plano é um conjunto vazio, um ponto ou uma elipse.

Aplicação em cartografia

Nas ciências cartográficas, os elipsóides são utilizados como aproximação da forma irregular da Terra, já que representam o achatamento nos pólos, ao contrário das esferas . As projecções cartográficas têm como domínio coordenadas elipsoidais.


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